La forma
de una fase.

1. Partícula ideal en un anillo de radio fijo; coordenada angular x ∈ [0, 2π), en radianes. 2. Solo intervienen dos modos ortonormales: u₀ = 1/√(2π) y u₁ = e^−ix/√(2π). 3. Estado puro, sin ruido ni interacción con un entorno. La masa y el radio no se fijan: el tiempo se expresa como τ = ΔE·t/ℏ, con ΔE = ℏ²/(2mR²).

θ ∈ [0, π] mezcla amplitudes; φ ∈ [0, 2π) fija su fase relativa. La densidad ρ tiene unidad rad⁻¹. Al evolucionar libremente, φ(τ) = φ(0) − τ. Un segundo de animación representa 0,45 unidades de τ; no mide un tiempo físico en segundos.

La geometría del toro codifica √ρ en el grosor; sus ejes espaciales son una representación. El qubit se representa aparte: r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), |r| = 1. Fuentes: Barton Zwiebach, MIT, 8.04, apuntes 6 y 10, 2016; IBM Quantum, esfera de Bloch.

Proposición. Para cada contraste C ∈ (0, 1] y máximo x*, existen estados con θ = arcsin C o θ = π − arcsin C, y φ = x* módulo 2π, que producen la densidad buscada. Si 0 < C < 1, las dos ramas tienen la misma densidad y diferentes probabilidades P₁.

Demostración. Al desarrollar el módulo cuadrado, el término cruzado vale 2 cos(θ/2) sin(θ/2) cos(x − φ) = sin θ cos(x − φ). Por tanto ρmáx = (1 + sin θ)/(2π), ρmín = (1 − sin θ)/(2π), y su contraste es sin θ. Ambas ramas resuelven sin θ = C; el coseno alcanza su máximo en x = φ módulo 2π.

Conocer P₁ exactamente determina cos θ y distingue las ramas. En un experimento se estima esa probabilidad con detecciones repetidas; una detección aislada no basta. En C = 1 coinciden: θ = π/2. En C = 0 la densidad es uniforme, φ no se puede identificar y no existe un máximo único. En los polos la fase tampoco distingue estados físicos. La integral es 1 porque la integral de un coseno sobre el periodo completo es cero.

Métrica objetivo: E = |∫ρ dx − 1|, adimensional. Base medida: el valor mostrado arriba para el estado actual; umbral fijado antes del cálculo: E ≤ 10⁻¹². La regla trapezoidal usa 512 intervalos uniformes. Para este armónico periódico la cuadratura es exacta en aritmética real; el residuo mostrado corresponde a redondeo de coma flotante.

Sanidad: polos θ = 0 y π, contraste cero; ecuador θ = π/2, contraste uno; periodicidad φ + 2π; ρ ≥ 0; equivalencia entre el módulo de la amplitud y la fórmula de densidad. La sensibilidad del inverso es dθ/dC = 1/√(1 − C²), que diverge al acercarse C a 1. El laboratorio no añade ruido a las muestras.

Costo del muestreo y exportación: O(N) tiempo y memoria, N = 512 intervalos. Inversión analítica: O(1). El CSV incluye parámetros, amplitud compleja, densidad e integral. La malla visual se interpola: sus píxeles no constituyen evidencia numérica. Error respecto de un experimento físico: σ = desconocida, porque no hay mediciones instrumentales.

La pieza resuelta identifica el dato que falta: una población modal. El siguiente estudio puede evaluar cómo reconstruir ambos parámetros con un número finito de detecciones y ruido. Antes de medir habría que fijar el modelo de ruido, el número de muestras y un umbral de error angular.

Eso es trabajo pendiente de este cuaderno, no una afirmación de que la comunidad carezca de métodos. No se ha demostrado aquí una mejora sobre tomografía cuántica conocida. TODO(dato): mediciones, comparación con un estimador de referencia y costo físico del experimento.